Welsh Journals

Search over 450 titles and 1.2 million pages

Gwobr y Gwyddonydd 1972 Trem ar Graffìau Y mae Königsberg, tref yn Nwyrain Prwsia, wedi tyfu ar lannau'r afon Pregel. Mewn un rhan yn y dref mae dwy ynys, ac mae saith o bontydd yn cysylltu gwahanol rannau'r dref, fel y dengys y llun isod. Llun (i) Ymddiddorai trigolion Königsberg yn y broblem ganlynol: 'a ellid mynd am dro gan groesi pob un o'r pontydd unwaith ac unwaith yn unig, a chychwyn a gorffen yn yr un lle ?' Cafwyd ateb i'r broblem gan y mathemategwr enwog Leonhard Euler (1707-83) mewn ysgrif a ymddangosodd yng nghyhoeddiadau Academi Wyddonol St. Petersburg (Leningrad) yn y flwydd- yn 1736. Yn yr ysgrif gosododd Euler sylfeini theori graffiau, cangen o fathemateg sydd yn awr yn cael sylw arbennig oherwydd ei defnyddioldeb mewn canghennau eraill o fathemateg a gwyddoniaeth. Mewn llawer maes cyn y gellir datrys problem ymarferol mae'n rhaid cael model mathemategol o'r sefyllfa, er mwyn troi'r broblem yn broblem fathemategol. Wedyn mae holl theoremau'r mathe- mategwr ar gael i ddatrys y broblem. Ond o bryd i'w gilydd cyfyd problem lle nad oes mathemateg addas wedi ei datblygu. Y pryd hynny mae'n rhaid aros nes i ryw athrylith daro ar y model priodol a darganfod y theoremau angenrheidiol. Yn achos problem pontydd Königsberg, sylwedd- olodd Euler mai'r model priodol oedd un yn dangos ?wahanol rannau'r dref fel pwyntiau, a'r pontydd el arcau yn eu cysylltu (gweler Llun (ii) ). JOHN B. HUGHES Llun (ii) Gellid wedyn aralleirio'r broblem fel hyn: 'a oes cylchdaith o amgylch Llun (ii) sy'n tramwyo pob arc unwaith ac unwaith yn unig?' Er mwyn ateb y cwestiwn nodwn: 'os oes cylchdaith o'r fath, yna am bob tro y mae'n ymweld ag unrhyw bwynt yn y llun, y mae dau arc yn cysylltu'r pwynt hwnnw, sef un i ddod i'r pwynt ac un i'w adael' (Llun (iii)). Llun (iii) Felly gallwn ddweud: 'os yw nifer yr arcau sy'n gysylltiedig ag unrhyw un pwynt yn y llun yn odrif, yna nid oes gylchdaith yn tramwyo pob arc unwaith ac unwaith yn unig'. Gwelwn fod odrif o arcau yn cysylltu pob pwynt yn Llun (ii). Felly nid oes cylchdaith yn defnyddio pob arc yn y llun unwaith, ac ni allai trigolion Königsberg fynd am dro gan groesi pob pont unwaith a chychwyn a gorffen yn yr un lle. Graffiau Prif nodwedd y datrysiad uchod yw bod y broblem yn cyfateb i lun yn cynnwys pwyntiau ac arcau-y pwyntiau yn cynrychioli casgliad o wrth- rychau, a phob arc yn cynrychioli perthynas rhwng